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Congruencia de Triángulos

Congruencia de Triángulos

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Introducción

Muchos de los problemas de la trigonometría consisten en la resolución de un triángulo. Resolver un triángulo es, definirlo de manera unívoca, es decir, dar la medida de sus 3 lados y de sus tres ángulos. Así pues, es fundamental cuántos y cuáles de los elementos de un triángulo son necesarios para que éste quede determinado.

Hemos hablado en el tema anterior de medida de ángulos y todos manejamos de manera intuitiva el concepto de medida. También hablamos de ángulos iguales o congruentes como aquellos que somos capaces de, moviendo uno de ellos sin deformarlo, superponerlo hasta hacerlo coincidir con el otro. Esta idea la ampliamos a la media de segmentos sin mucha dificultad.

Intuitivamente podemos entender muy bien que, para mover un objeto cualquiera (ángulo, segmento, triángulo, circunferencia, ...) sin deformarlo, podríamos, entre otras cosas, hacer movimientos de los siguientes tipos:

Trasladarlo de lugar. (Esto es lo que en matemáticas llamamos una Traslación)

Girarlo alrededor de un punto de cualquier forma. (Esto es lo que en matemáticas llamamos un Giro)

Invertirlo, obtener su simétrico, respecto de una recta cualquiera. (Esto es lo que en matemáticas llamamos una Simetría Axial)

El haber considerado estos tres tipos de "movimientos" no ha sido una cuestión de azar y tienen una justificación matemática rigurosa, pero desde el punto de vista que nos ocupa, nos basta con entender que éstos son movimientos que no deforman.

Congruencia de Triángulos

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Definición: (RA.2)[LaTeX]

En la definición anterior la congruencia de triángulos se representa mediante tres rayas horizontales y, en el caso de los ángulos y de los lados, las tres rayas horizontales indican que , moviendo uno de ellos sin deformarlo se puede superponer sobre el otro para hacerlos coincidir ("miden lo mismo").

Una manera de visualizar lo que son dos triángulos congruentes es pensar que lo serán siempre que sea posible recortar uno de ellos, levantarlo y moverlo hasta hacerlo coincidir exactamente con el otro. Es decir, si lo podemos mover sin deformar hasta que se superpongan.

En realidad, podríamos hablar de triángulos iguales y, según el contexto, así será. Sin embargo, dos triángulos pueden ser congruentes y estar colocados en distinto sitio del plano. Si en un problema determinado la ubicación exacta del triángulo es fundamental, queda claro que no podemos hablar de manera precisa de igualdad.

Intuitivamente podemos entender muy bien que, para mover un triángulo sin deformarlo podríamos, entre otras cosas, hacer movimientos de los tres tipos mencionados en la Introducción del tema:

Trasladarlo de lugar: por ejemplo, arrastrándolo desde uno de sus vértices.

Girarlo alrededor un punto de cualquier forma: en partircular, si lo hacemos girar sobre uno cualquiera de sus vértices.

Invertirlo, obtener su simétrico respecto de una recta cualquiera: en particular si le damos la vuelta sobre la recta que determina uno de sus lados.

Como trabajamos en el Applet adjunto, con estos movimientos, si dos triángulos tienen los lados y los ángulos respectivamente iguales, conseguiremos superponerlos haciéndolos coincidir.

En los siguientes apartados vemos que, para que 2 triángulos sean congruentes nos basta con observar algunas coincidencias entre sus elementos y no es necesario comprobar que tanto los 3 lados como los tres ángulos miden lo mismo dos a dos.

Criterio1 de congruencia de Triángulos:

Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo igual y los lados que lo comprenden respectivamente iguales

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Criterio1:

Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, miden lo mismo.

(RA.3)

Vamos a contruir un triángulo del que conocemos dos lados y el ángulo comprendido y veremos que el proceso nos da un único resultado salvo movimientos que no deforman.

En el Applet adjunto trabajamos esta construcción como sigue:

Nuestro primer paso de construcción es fijar un punto donde empezar el dibujo, un vértice del triángulo. Este será único salvo desplazamientos.

Vamos a dibujar ahora el primero de los lados. Como tenemos su medida y el punto origen C, las posibilidades para dibujarlo quedan definidas por la circunferencia de centro C y radio su tamaño. (Es único salvo un giro que no deforma)

Conocemos el ángulo comprendido entre los dos lados y tenemos un lado fijado, así que dibujemos el ángulo sobre el lado. Aquí tenemos dos posibilidades para llevar el ángulo, orientación contraria a las agujas del reloj o, al revés.

Del otro lado tenemos su longitud y, entre ambos lados debe quedar comprendido el ángulo.

Uniendo ahora los extremos no comunes de los lados dados, queda dibujado el triángulo.

Criterio 2 de congruencia de Triángulos:

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente iguales y el lado comprendido también igual

fuente : jorgefernandezherce.es