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    serie numerica y convergencia criterio de la razon criterio de la raiz criterio de la integral

    Santiago

    Chicos, ¿alguien sabe la respuesta?

    obtenga serie numerica y convergencia criterio de la razon criterio de la raiz criterio de la integral de este sitio.

    4.3 Serie numérica y convergencia. Criterio de la razón. Criterio de la raíz. Criterio de la integral.

    4.3 Serie numérica y convergencia. Criterio de la razón. Criterio de la raíz. Criterio de la integral.

    martes, junio 04, 2019

    fuente : calculointegralunidad4k2u.blogspot.com

    Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la razón y el criterio de la raíz

    Introducción En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia: el criterio de comparación y el criterio de comparación del límite, en esta sección veremos el criterio de la prueba del cociente o de la razón, y el criterio de la raíz, comencemos enunciando el teorema del criterio de la razón. Criterio de la razón […]

    El blog de Leo

    El blog de Leo Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

    Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la razón y el criterio de la raíz

    2 respuestas

    Introducción

    En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia: el criterio de comparación y el criterio de comparación del límite, en esta sección veremos el criterio de la prueba del cociente o de la razón, y el criterio de la raíz, comencemos enunciando el teorema del criterio de la razón.

    Criterio de la razón

    Teorema. (Prueba de la razón o del cociente)

    Sea {an}

    una sucesión positiva y supón que:

    limn→∞an+1an=r Entonces ∑n=1∞an converge si r<1 , diverge si r>1 y si r=1 no es concluyente. Demostración: Observemos que:

    an>0  ∀ n ϵ N⇒an+1an>0 ∀ n ϵ N⇒limn→∞an+1an=r≥0

    Para demostrar este teorema, dividamos por los casos siguientes:

    Caso 1) : Si 0≤r<1 , entonces: limn→∞an+1an=r

    Podemos escoger un número

    r

    S tal que

    ∀ n ≥k ⇒|an+1an|

    Tal que:

    ak+1

    En particular:

    ak+2

    Por tanto:

    Continuando de esta manera hasta

    an=ak+m

    n , se tiene que:

    Por otro lado, como S<1

    , entonces la siguiente serie:

    ∑m=1∞Sm  con m≥1

    Es una serie geométrica, por tanto:

    ⇒∑m=1∞Sm converge ⇒∑m=1∞Smak converge ⇒∑m=1∞ak+m converge.

    Por el criterio de comparación, así

    ∑n=k+1∞an converge, ∴∑n∞an converge Caso 2) : Si r>1 Vemos que: limn→∞an+1an=r

    Podemos escoger un número

    S tal que r>S>1 ⇒∃ k ϵ N Tal que:

    ∀n≥k  |an+1an|>S⇒∀ n≥k ⇒an+1>San

    Se tiene que para: ak+1>Sak

    ak+2>Sak+1>S(Sak)=S2ak

    ak+3>Sak+2>S(S2ak)=S3ak

    Continuando de esta manera,

    ∀ n≥k , entonces: ak+n>Snak ∑n=1∞Sn

    es una serie geométrica con

    |S|>1 ⇒∑n=1∞Sn diverge ⇒∑n=1∞Snak diverge ⇒∑n=1∞ak+n diverge ⇒∑n=k+1∞an diverge ∴∑n=1∞an diverge Caso 3)

    : Para este caso solo hay que dar un ejemplo, veamos:

    Tomemos siguientes las series:

    ∑i=1∞1n2  y  ∑i=1∞1

    Es fácil ver que la segunda serie diverge cuando

    n→∞

    , para la primera serie, tenemos que:

    limn→∞an+1an=limn→∞1(n+1)21n2=limn→∞n2(n+1)2=limx→∞1(1+1n2)2=1

    Lo cual sabemos que esta serie converge.

    Por lo que para r=1

    no hay conclusión de la convergencia de la serie.

    Veamos un ejemplo.

    Ejemplo

    Diga si la siguiente serie converge o diverge.

    ∑n=1∞1n!

    Usamos el criterio de la razón, tomamos el límite de la sucesión como:

    limn→∞an+1an=limn→∞1(n+1)!1n!=limn→∞n!(n+1)!=limn→∞n!(n+1)n!=limn→∞1n+1=0<1

    Por tanto, por el criterio de la razón:

    ∴∑n=1∞1n! converge

    Ahora veamos el criterio de la raíz.

    Criterio de la raíz

    Teorema. (Criterio de la raíz)

    Sea {an} una sucesión con an≥0  ∀ n ϵ N tal que: limn→∞ann=L Entonces ∑n=1∞an converge si L<1 y diverge si L>1 . Demostración:

    Divimos esta demostración por casos:

    L

    1):L<1 Supongamos que L<1 , observamos que L≥0 , tomamos r tal que

    , por definición del limite:

    ∀ n≥k⇒ ann

    ∃ k ϵ N Tal que:

    ⇒an

    Pero: ∑n=k∞rn converge ya que r<1

    y es una serie geométrica, por el criterio de comparación.

    ⇒∑n=k∞an converge ∴∑n=1∞an converge 2):L>1

    Ahora, supongamos que

    1

    L>1 , toma r tal que

    , por definición del límite:

    1

    ∃ k ϵ N Tal que: ∀ n≥k⇒ ann>r ⇒an>rn Pero

    , por consiguiente por el criterio de las series geométricas:

    ⇒∑n=k∞rn diverge ⇒∑n=r∞an diverge

    Por el criterio de comparación:

    ∴∑n=1∞an diverge Veamos un ejemplo.

    Ejemplo

    Diga si la siguiente serie converge o diverge.

    ∑n=1∞(1+1n)2nen

    Apliquemos el criterio de la raíz, tomamos el límite de la sucesión como:

    limn→∞ann=limn→∞(1+1n)2nenn=limn→∞(1+1n)2nen=1e<1

    Por tanto, por el criterio de la raíz:

    ∴∑n=1∞(1+1n)2nen converge

    Tarea moral

    Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

    Diga si la siguientes series convergen o divergen.

    ∑n=1∞9n2n+1n ∑n=1∞(1n2−1n10)n ∑n=1∞(2n)!n!n! ∑n=1∞(11+n)n ∑n=1∞(2n+33n+2)n

    Más adelante…

    En esta sección vimos otros dos criterios más de convergencia que son el criterio de la razón en el cual el valor del límite de la división entre la sucesión

    an+1 y an

    nos dice si la serie es convergente o divergente, y el criterio de la raíz que dependiente del valor se toma del límite de la raíz n-esima de la sucesión nos dice si la sucesión es convergente o divergente. En la siguiente sección veremos otro criterio de convergencia, que es el criterio de la integral.

    fuente : blog.nekomath.com

    4.3 Serie númerica y convergencia by nancy barvara cruz murguia

    4.3 SERIE NÚMERICA Y CONVERGENCIA. CRITERIO DE LA RAZÓN. CRITERIO DE LA RAIZ. CRITERIO DE LA INTEGRAL. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL VALLE DE ETLA Series númericas y convergencia. Presenta Cruz Murgia Nancy Barvara 16770021 Pacheco Gómez Karen 16770018

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    4.3 Serie númerica y convergencia

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    nancy barvara cruz murguia

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    4.3 SERIE NÚMERICA Y CONVERGENCIA.

    CRITERIO DE LA RAZÓN.

    CRITERIO DE LA RAIZ.

    4.3 SERIE NÚMERICA Y CONVERGENCIA. CRITERIO DE LA RAZÓN. CRITERIO DE LA RAIZ. CRITERIO DE LA INTEGRAL.

    TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

    INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL VALLE DE ETLA

    Series númericas y convergencia.

    Presenta

    Cruz Murgia Nancy Barvara

    16770021 Pacheco Gómez Karen 16770018

    Ramos Castellanos Magda Isabel

    16770022 Asesor:

    Ing. Salomón Rodríguez Bonilla

    Semestre: 2°

    Santiago Suchilquitongo, Etla, Oaxaca, México Mayo 2017

    TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

    INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL VALLE DE ETLA

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    Ing. Salomón Rodríguez Bonilla

    Semestre: 2°

    Santiago Suchilquitongo, Etla, Oaxaca, México Mayo 2017

    Serie Númerica y Convergencia

    Serie Númerica

    Serie Númerica

    Una sucesión ordenada de elementos que guardan un vinculo entre si.

    Convergencia

    Convergencia

    Hay convergencia al utilizar un método númerico para resolver un problema en particular.

    Criterio de la Razón o del Cociente

    Determinar la convergencia o divergencia de una serie infinita.

    Criterio de la integral

    Determinar si una serie infinita es convergente o divergente.

    Criterio de la Raíz

    Determina si una serie Converge o Diverge

    Criterio de la Raíz

    Fuentes de Información

    Ayres, F. (1989). Serie Schaum. Cálculo Diferencial e Integral. Recuperado el 25 de mayo de 2017, de http://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/calculo_ayres.pdf

    Series numéricas. Tema 3. Recuperado el 25 de mayo de 2017, de https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/calc1inf1011/apjperez/calculo_cap09.pdf

    fuente : prezi.com

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    Santiago 4 month ago
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    Chicos, ¿alguien sabe la respuesta?

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