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    se denomina así cuando la derivada es negativa antes del punto crítico y positiva después de él.

    Santiago

    Chicos, ¿alguien sabe la respuesta?

    obtenga se denomina así cuando la derivada es negativa antes del punto crítico y positiva después de él. de este sitio.

    La derivada y el crecimiento

    La derivada y el crecimiento

    La derivada de una función en un punto nos indica el ritmo de cambio de la función en dicho punto. Una consecuencia inmediata es que la derivada nos va a permitir saber si la función crece o decrece en un punto determinado con solo atender al signo de la derivada. Si la derivada es positiva, la variación de la función es positiva, por tanto crece en el punto considerado. Por el contrario, si la derivada es negativa, la variación es negativa, por lo que la función decrece en el punto considerado.

    Si conocemos la función derivada, el problema de la determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función se reduce al estudio del signo de su función derivada. Los intervalos en los que la función derivada es positiva se corresponden con intervalos en los que la función primitiva es creciente. Los intervalos en que la función derivada es negativa se corresponden con intervalos en los que la función primitiva es decreciente.

    Cuando la derivada en un punto es cero la tangente a la función en dicho punto es horizontal. Pero la tangente puede ser horizontal por diferentes motivos, por lo que interpretar una derivada nula resulta un poco más complejo que cuando es positiva o negativa. Así, puede ocurrir que estemos ante un máximo relativo o un mínimo relativo, o bien que se trate de un punto de inflexión de tangente horizontal o que simplemente se trate de un punto en el que la función es constante.

    Los puntos de corte de la función derivada con el eje OX, es decir, los puntos donde se anula la función derivada nos informan sobre los puntos en los que la función primitiva tiene tangente horizontal y nos ayudan además a determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

    Si derivamos nuevamente la función derivada obtenemos la función segunda derivada. Ésta nos proporcionará información sobre la variación de la anterior, es decir, sobre la función primera derivada. Siguiendo un razonamiento análogo al que hemos seguido en párrafos anteriores, la segunda derivada nos permitirá conocer cuando la primera derivada es creciente o decreciente, lo que, a su vez, nos permite saber el tipo de curvatura de la función primitiva, es decir, en qué intervalos es cóncava o convexa. En consecuencia, la segunda derivada nos va a permitir determinar los intervalos en que la función es cóncava o convexa, así como los puntos de inflexión, que son los puntos en los que cambia el tipo de curvatura de la función.

    En esta aplicación vamos a determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función y analizar el comportamiento de la función en los puntos en los que la derivada se anula. También determinaremos la curvatura de la función y los puntos de inflexión, si existen.

    Preguntas

    Mueve el punto amarillo a lo largo del eje OX y fíjate en cómo varía la pendiente de la tangente: observa cuando es positiva, negativa o nula.

    Completa la tabla siguiente. Cuando la hayas completado, activa la casilla "Mostrar el tipo de variación" y comprueba tus resultados.

    x signo de f'(x) Tipo de variación

    0 -   (f'(x)<0) decreciente

    0,5 1 1,5 2 3 4 5

    Determina ahora los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y sus extremos relativos (completa la tabla):

    Intervalo f'(x) f(x)

    (-inf, 1) -    (f'(x)<0) f(x) decrece

    x=1 0 Mínimo relativo

    Teniendo en cuenta el signo de la primera derivada en los intervalos que has considerado, así como los puntos en que se anula, que ya has obtenido en el apartado anterior, haz un esbozo en el cuaderno de la función derivada. Activa la casilla "Mostrar primera derivada" para comprobar tu resultado.

    Observa ahora la gráfica de la función derivada. Determina de forma aproximada los intervalos en que crece y decrece y completa la tabla siguiente. Indica también qué significado tienen esos intervalos en la función f(x) (indica el tipo de curvatura o, en su caso, si se trata de un punto de inflexión).

    Intervalo f'(x) f(x)

    (-inf, 1,8) crece Cóncava

    x=1,8 máximo relativo Punto de inflexión

    Activa ahora la casilla "Mostrar segunda derivada".  ¿En qué intervalos es positiva la función segunda derivada? ¿En qué intervalos es negativa? ¿Para qué valores de x se anula? ¿Qué relación tienen estos resultados con lo que has estudiado en el apartado anterior? Completa ahora la tabla:

    Intervalo f''(x) f(x)

    (-inf, 1,8) +  (f"(x)>0) cóncava

    x=1,8 0 Punto de inflexión

    Haz clic en para volver al estado inicial de la aplicación. Cambia ahora la función por f(x) = 3x5 - 5x3 (En la casilla de entrada escribe: 3x^5-5x^3). Utiliza la aplicación para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como su concavidad y convexidad. Determina también sus extremos relativos y sus puntos de inflexión. Completa las tablas siguientes:

    Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.Intervalo f'(x) f(x)Concavidad y convexidad. Puntos de inflexiónIntervalo f''(x) f(x)

    Para cada una de las siguientes funciones, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como su concavidad y convexidad. Determina también sus extremos relativos y sus puntos de inflexión. Primero haz el estudio con lápiz y papel. A continuación comprueba tus resultados utilizando la aplicación.

    fuente : geogebra.es

    Punto crítico (matemática)

    Punto crítico (matemática)

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    Puntos estacionarios (cruces rojas) y puntos de inflexión (círculos verdes). Es importante notar que los puntos estacionarios son puntos críticos, pero los puntos de inflexión no siempre lo son.

    En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1​2​ El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre

    {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}

    y

    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

    , y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.

    Índice

    1 Definición para las funciones de una sola variable

    1.1 Derivada igual a cero

    1.1.1 Máximo 1.1.2 Mínimo

    1.1.3 Punto de inflexión

    2 Ejemplos

    3 Funciones de varias variables

    4 Campo vectorial gradiente

    5 Definición para mapas[5]​

    6 Véase también 7 Referencias

    Definición para las funciones de una sola variable[editar]

    Artículo principal:

    Un punto crítico de una función de una sola variable real,

    {\displaystyle f(x)}

    , es un valor

    {\displaystyle x_{0}}

    dentro del dominio de

    {\displaystyle f}

    donde la función no es diferenciable, o bien, su derivada es

    {\displaystyle 0} , es decir,

    {\displaystyle f'(x_{0})=0}

    . Cualquier valor en el codominio de

    {\displaystyle f}

    que sea la imagen de un punto crítico bajo

    {\displaystyle f}

    es un valor crítico de

    {\displaystyle f}

    . Estos conceptos pueden ser visualizados por medio de la gráfica de

    {\displaystyle f}

    : en un punto crítico, la gráfica no admite una tangente, o bien, la tangente es una línea vertical u horizontal. En el último caso, la derivada es cero y el punto es llamado un punto estacionario de la función.

    Por el teorema de Fermat, los máximos y mínimos locales de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos. Sin embargo, no todo punto estacionario es un máximo o mínimo de la función; puede corresponder también a un punto de inflexión de la gráfica, como para en o la gráfica puede oscilar en la vecindad del punto, como en el caso de la función definida por la fórmula para y , en el punto .

    Derivada igual a cero[editar]

    Dada una función real de variable real

    {\displaystyle y=f(x)}

    {\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}}

    Con dominio de definición , siendo

    {\displaystyle y=f(x)}

    continua y derivable en el intervalo y un punto de ese intervalo:

    {\displaystyle a

    donde su derivada en es cero:

    {\displaystyle {\cfrac {d\;f(b)}{dx}}=0}

    pueden presentarse los siguientes casos.

    Máximo[editar]

    La función de a es creciente y de a es decreciente, en el punto la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto la función presenta un máximo relativo.

    Mínimo[editar]

    La función de a es decreciente y de a es creciente, en el punto la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto la función presenta un mínimo relativo.

    Punto de inflexión[editar]

    La función de a es creciente y de a es también creciente, en el punto la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto la función presenta un punto de inflexión.

    La función de a es decreciente y de a es también decreciente, en el punto la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto la función presenta también un punto de inflexión.

    Ejemplos[editar]

    La función () = 2 + 2 + 3 es diferenciable en todo lugar, con la derivada ′() = 2 + 2. Esta función tiene un único punto crítico −1, debido a que es el único número 0 para el cual 20 + 2 = 0. Este punto es un mínimo global de . El correspondiente valor crítico es (−1) = 2. La gráfica de es una parábola cóncava hacia arriba, el punto crítico es la abscisa del vértice, donde la línea tangente es horizontal, y el valor crítico es la ordenada del vértice y puede ser representado por la intersección de esta línea tangente y el eje .

    La función () = 2/3 está definida para toda y es diferenciable para ≠ 0, con la derivada ′() = 2−1/3/3. Debido a que ′() ≠ 0 para ≠ 0, el único punto crítico de es = 0. La gráfica de la función tiene una cúspide en este punto con una tangente vertical. El correspondiente valor crítico es (0) = 0.

    La función () = 3 − 3 + 1 es diferenciable en todas partes, con la derivada ′() = 32 − 3. Tiene dos puntos críticos, en = −1 y = 1. Los correspondientes valores críticos son (−1) = 3, que es un valor máximo local, y (1) = −1, que es un valor mínimo local de . Esta función no tiene máximo o mínimo global. Debido a que (2) = 3, se observa que un valor crítico puede también ser alcanzado en un punto no crítico. Geométricamente, esto significa que una línea tangente horizontal a la gráfica en un punto ( = −1) puede intersecar la gráfica en un ángulo agudo en otro punto ( = 2).

    La función

    {\displaystyle f(x)=|x-1|}

    es derivable en todo su domínio excepto en

    fuente : es.wikipedia.org

    Máximos y mínimos: criterio de la segunda derivada

    Ahora que sabemos que la segunda derivada nos da información acerca de la primera derivada, vamos a utilizarla para calcular …

    Máximos y mínimos: criterio de la segunda derivada

    Aprenderás a clasificar los puntos críticos de una función como máximos, mínimos o puntos de inflexión con base en la segunda derivada.

    Ahora que sabemos que la segunda derivada nos da información acerca de la primera derivada, vamos a utilizarla para calcular los máximos y mínimos de funciones. Ya vimos que la función tiene un máximo en el punto .

    De la gráfica se observa inmediatamente que la pendiente de las rectas tangentes va disminuyendo conforme avanzamos sobre el eje . Esto es claro al observar que para valores de negativos, las pendientes de las rectas tangentes son positivas, y para valores de positivos las rectas tangentes son negativas. Esto significa que la razón de cambio de la derivada de la función en el intervalo que vemos en la gráfica es negativa, pues las pendientes van decreciendo. En conclusión, si la segunda derivada de la función evaluada en un punto crítico es negativa, entonces el punto crítico corresponde a un máximo.

    Un análisis semejante puede ayudarte a convencerte que si la segunda derivada de una función en un punto crítico es

    positiva, entonces el punto crítico es un mínimo de la función. Pero tenemos un caso especial. Cuando el valor de la segunda derivada de la función evaluada en el punto crítico es cero. En este punto, la derivada deja crecer (o decrecer) y empieza a decrecer (o crecer). A este punto crítico lo llmaremos punto de inflexión.

    Contenido [Mostrar]

    Criterio de la segunda derivada

    Sea una función y uno de sus puntos críticos. Entonces,

    si , la función tiene un máximo en

    si , la función tiene un máximo en

    si , la función tiene un punto de inflexión en

    Ejemplo 1

    Utiliza el criterio de la segunda derivada para verificar que el punto crítico de la función:

    es un máximo.

    Si la segunda derivada evaluada en es negativo, tenemos que la pendiente está decreciendo alrededor de ese punto crítico. Es decir, antes de la pendiente es positiva y después es negativa. La segunda derivada de la función es:

    La segunda derivada de la función siempre es negativa. Entonces, el único punto crítico de la función es un máximo.

    Ejemplo 2

    Calcula los máximos y mínimos de la función:

    La primera derivada de la función:

    Igualando a cero la primera derivada obtenemos una ecuación de cuarto grado. Podemos utilizar la sustitución: para simplificarla a una ecuación de segundo grado:

    Ahora vamos a resolver la ecuación:

    Entonces,

    Es evidente que , por lo que al hacer:

    obtenemos raíces complejas. Esas raíces no nos interesan. Entonces, consideramos .

    Ahora calculamos la segunda derivada de la función:

    Al evaluarla en los puntos críticos obtenemos:

    Entonces la función tiene un máximo en el punto y un mínimo en . Se te queda como ejercicio verificar que los puntos críticos han sido correctamente clasificados utilizando el criterio de la primera derivada (usando una tabla de valores de y ) y graficar la función.

    Ejemplo 3

    Calcula los máximos y mínimos de la función:

    usando el criterio de la segunda derivada.

    Empezamos calculando los puntos críticos de la función. Primero calculamos la primera derivada:

    Ahora igualamos la primera derivada a cero y resolvemos:

    Ahora calculamos la segunda derivada de la función:

    Puesto que , al evaluar la segunda derivada en el único punto crítico de la función obtenemos un número positivo. Esto nos indica que el punto crítico corresponde a un mínimo.

    Ejemplo 4

    Calcula los máximos y mínimos de la función:

    en el intervalo usando el criterio de la segunda derivada.

    Para calcular la primera derivada usaremos la regla del producto. Definiendo: , y , tenemos que:

    Sustituyendo estos valores en la regla de derivación correspondiente obtenemos:

    Ahora calculamos los puntos críticos de la función igualando a cero la primera derivada:

    Los valores para los cuales y son iguales en valor absoluto son y .

    Esto se observa fácilmente en una circunferencia unitaria:

    Ahora vamos a calcular la segunda derivada de la función:

    Al evaluar en los puntos críticos obtenemos:

    Por lo que tiene un máximo en . Ahora vamos a evaluar la segunda derivada en el otro punto crítico:

    Esto significa que se trata de un mínimo. La gráfica de esta función es la siguiente:

    Ejemplo 5

    Calcula los máximos y mínimos de la función:

    utilizando el criterio de la segunda derivada.

    Primero calculamos la primera derivada de la función:

    Los puntos críticos de la función son evidentes a partir de la factorización de la derivada:

    Ahora vamos a calcular la segunda derivada de la función para clasificar los puntos críticos evaluando en ella:

    fuente : www.aprendematematicas.org.mx

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    Santiago 16 day ago
    4

    Chicos, ¿alguien sabe la respuesta?

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