razón trigonométrica que se emplea para conocer la medida de la hipotenusa, considerando la medida de un ángulo agudo y la longitud de su cateto adyacente.

obtenga razón trigonométrica que se emplea para conocer la medida de la hipotenusa, considerando la medida de un ángulo agudo y la longitud de su cateto adyacente. de este sitio.

Identificar las Seis Funciones Trigonométricas

Identificar las Seis Funciones TrigonométricasObjetivos de Aprendizaje

·         Identificar la hipotenusa, el cateto adyacente y el cateto opuesto de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.

·         Determinar las seis funciones trigonométricas de un ángulo dado en un triángulo rectángulo.

·         Reconocer la relación recíproca entre seno/cosecante, coseno/secante, y tangente/cotangente.

·         Usar una calculadora para encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas para cualquier ángulo agudo.

·         Usar una calculadora para encontrar la medida de un ángulo dado el valor de la función trigonométrica.

Introducción

Supongamos que quieres construir una rampa de acceso para un muelle de carga que está a 4 pies por encima del nivel del suelo. Quieres que sea posible empujar un carro por la rampa, y que el ángulo de elevación no exceda los 20°. ¿Qué tan larga debe ser la rampa?

En este diagrama, tenemos un triángulo rectángulo del cual conocemos la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. Queremos encontrar la longitud de la hipotenusa. Probablemente sepas que el Teorema de Pitágoras te permite encontrar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo, teniendo las longitudes de los otros dos lados. Ahora aprenderás trigonometría, que es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre ángulos y lados de triángulos. De hecho, la trigonometría te permitirá encontrar las longitudes desconocidas y las medidas de los ángulos en triángulos rectángulos en una variedad de casos, como el problema anterior.

Los Lados de un Triángulo Rectángulo

En el ejemplo anterior, uno de los ángulos agudos mide 20°. Podrías describir el lado cuya medida es 4 pies como la altura del triángulo, o podrías decir que es el “opuesto” del ángulo de 20°. El otro lado del triángulo se llama “adyacente” al ángulo de 20°. En trigonometría, este tipo de relación entre lados y ángulos es muy importante. Estos dos lados de un triángulo rectángulo se llaman “catetos”, por lo que el lado opuesto se llama cateto opuesto y el lado adyacente se llama cateto adyacente.

La relación general entre lados y ángulos se muestra en el diagrama siguiente.

El ángulo está formado por la hipotenusa y el cateto . Decimos que el cateto  es adyacente al ángulo . Decimos que el cateto  es el lado opuesto al ángulo . En otras palabras, el cateto adyacente es el lado que forma parte del ángulo; el cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo.

Ejemplo

Problema

¿Cuáles son las longitudes de los lados opuesto al ángulo y adyacente al ángulo ?

El lado opuesto al ángulo es . Su longitud es 3. El lado adyacente al ángulo es . Su longitud es 4.

longitud del lado opuesto: 3

longitud del lado adyacente: 4

Ten en cuenta que las palabras “opuesto” y “adyacente” dependen de qué ángulo se está tratando. El lado opuesto al ángulo no necesariamente es la altura del triángulo. Considera el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Problema

¿Cuál es el nombre del lado opuesto al ángulo de 40° y el nombre del lado adyacente al ángulo de 40°?

El ángulo 40° está formado por la hipotenusa y

, entonces  es el lado adyacente. Como  no forma parte del ángulo de 40°, es el lado opuesto.

lado opuesto: lado adyacente:

Cada cateto en un triángulo rectángulo es adyacente a uno de los ángulos agudos y opuesto al otro ángulo agudo.

Ejemplo

Problema

En, el lado  ¿a qué angulo es adyacente y a qué ángulo es opuesto?

El lado  y la hipotenusa  forman . Entonces  es adyacente a . Como  no es parte del ángulo agudo ,  es el lado opuesto .

adyacente a opuesto

Las Seis Funciones Trigonométricas

Supongamos que tu profesor les pide a ti y a otro estudiante dibujar un triángulo cuyos ángulos midan 35°, 55°, y 90°. Probablemente, tú y tu amigo dibujarán triángulos de distintos tamaños. Pero, como los triángulos tienen medidas iguales en sus ángulos, van a ser similares.

Recuerda que esto significa que los lados correspondientes de los triángulos tendrán longitudes proporcionales. Por ejemplo, un triángulo podría tener lados el doble de largos que el otro triángulo, como se ve abajo.

Ahora supongamos que a cada uno de ustedes se le ha pedido encontrar la razón del lado opuesto al ángulo de 35° y la hipotenusa. Si bien estamos usando triángulos distintos y tendremos números distintos en el numerador y el denominador, nos dará el mismo resultado. Tú y tu amigo obtendrán:

fuente : content.nroc.org

Razones Trigonométricas de los Recttángulos

A P R E N D I E N D O

M A T E M Á T I C A S

A P R E N D I E N D O M A T E M Á T I C A S  

Inicio Álgebra Trigonometría Analítica Diferencial Integral Graficador Tareas

TRIGONOMETRÍA:

TRIGONOMETRÍA: Razones Trigonometricas del Triángulo Rectángulo 

La trigonometría, enfocada  en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante  siglos en topografía, navegación y astronomía.

Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definirr como "medida de triángulos".

Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura a la derecha:

Los ángulos con vértice en  A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.

Este triángulo se caracteriza  por que los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.

Cada uno de los ángulos águdos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:

Si consideramos el ángulo αSi consideramos el ángulo γ

cateto adyacente

cateto opuesto cateto adyacente

cateto opuesto

Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos.

Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.

Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:

Funciones (razones) trigonométricas FundamentalesRecíprocassen seno cosec (csc) cosecantecos coseno sec secantetan (tg) tangente cotan (cotg) cotangenteVeamos un ejemplo, para un ángulo α:

Sea el ángulo BACde medida α (siempre menor de 90º) en el triángulo rectángulo ABC.

Los lados BC y BA son los catetos y AC, la hipotenusa.

En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con respecto a alfa (α) se definen como:

Seno

Seno, es la razón (división) entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa

Coseno

coseno, es la razón (división) entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa

Tangente

tangente, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo.

Estas tres (seno, coseno, tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un ángulo agudo y los lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.

A cada razón fundamental corresponde una razón recíproca, llamadas así por que cada una es la inversa de otra fundamental.

Las tres siguientes son las razones recíprocas que se pueden establecer respecto al mismo ángulo:

Cosecante

cosecante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo, y como es la recíproca del seno de α se puede expresar como

Secante

secante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, y como es la reciproca del coseno de α se puede expresar como

Cotangente

cotangente, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al mismo, y como es la recíproca de la tangente de α se puede expresar como

fuente : www.cecyt3.ipn.mx

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos (artículo)

Aprende cómo encontrar seno, coseno y tangente de ángulos en triángulos rectángulos.

Introducción a las razones trigonométricas

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Aprende cómo encontrar seno, coseno y tangente de ángulos en triángulos rectángulos.

Google ClassroomFacebookTwitter

Correo electrónico

Las razones de los lados de un triángulo rectángulo se llaman razones trigonométricas. Tres razones trigonométricas comunes son : seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Estas se definen para el ángulo agudo

A A A como sigue:

\maroonC{\text{adyacente}}

adyacente

\blueD{\text{opuesto}}

opuesto

\purpleC{\text{hipotenusa}}

hipotenusa

\sin (A) = \dfrac{\blueD{\text{opuesto}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}

sin(A)= hipotenusa opuesto ​

\cos (A) = \dfrac{\maroonC{\text{adyacente}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}

cos(A)= hipotenusa adyacente ​

\tan (A) = \dfrac{\blueD{\text{opuesto}}}{\maroonC{\text{adyacente}}}

tan(A)= adyacente opuesto ​ A A B B C C

En estas definiciones. los términos opuesto, adyacente e hipotenusa se refieren a las longitudes de esos lados.

SOH-CAH-TOA: una manera sencilla de recordar las razones trigonométricas

La palabra sohcahtoa nos ayuda a recordar las definiciones de seno, coseno y tangente. He aquí como funciona esto:

Acrónimo Descripción verbal Definición matemática

\Large S\blueD{O}\purpleC{H}

SOH

S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff

\text{S} S

start text, S, end text

eno es \text{\blueD{O}} O

start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end text

puesto entre \text{\purpleC{H}} H

start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end text

ipotenusa

\sin(A) = \dfrac{\text{\blueD{Opuesto}}}{\text{\purpleC{Hipotenusa}}}

sin(A)= Hipotenusa Opuesto ​

sine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #11accd, O, p, u, e, s, t, o, end color #11accd, end text, divided by, start text, start color #aa87ff, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text, end fraction

\Large C\maroonC{A}\purpleC{H}

CAH

C, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff

\text{C} C

start text, C, end text

oseno es \text{\maroonC{A}} A

start text, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, end text

dyacente entre \text{\purpleC{H}} H

start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end text

ipotenusa

\cos(A) = \dfrac{\text{\maroonC{Adyacente}}}{\text{\purpleC{Hipotenusa}}}

cos(A)= Hipotenusa Adyacente ​

cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #ed5fa6, A, d, y, a, c, e, n, t, e, end color #ed5fa6, end text, divided by, start text, start color #aa87ff, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text, end fraction

\Large T\blueD{O}\maroonC{A}

TOA

T, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6

\text{T} T

start text, T, end text

angente es \text{\blueD{O}} O

start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end text

puesto entre \text{\maroonC{A}} A

start text, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, end text

dyacente

\tan(A) = \dfrac{\text{\blueD{Opuesto}}}{\text{\maroonC{Adyacente}}}

tan(A)= Adyacente Opuesto ​

tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #11accd, O, p, u, e, s, t, o, end color #11accd, end text, divided by, start text, start color #ed5fa6, A, d, y, a, c, e, n, t, e, end color #ed5fa6, end text, end fraction

Por ejemplo, si queremos recordar la definición de seno, nos referimos a

S\blueD{O}\purpleC{H}

SOH

S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff

, pues seno empieza con la letra S. ¡La

\text{\blueD{O}} O

start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end text

y la \text{\purpleC{H}} H

start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end text

nos ayudan a recordar que seno es

\text{\blueD{opuesto}}

opuesto

start text, start color #11accd, o, p, u, e, s, t, o, end color #11accd, end text

entre

\text{\purpleC{hipotenusa}}

hipotenusa

start text, start color #aa87ff, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text

!

Ejemplo

Supongamos que queremos determinar

\sin( A) sin(A)

sine, left parenthesis, A, right parenthesis

en \triangle ABC △ABC triangle, A, B, C

dado a continuación:

4 4 5 5 3 3 C C A A B B

Seno se define como la razón entre

\text{\blueD{opuesto}}

opuesto

start text, start color #11accd, o, p, u, e, s, t, o, end color #11accd, end text

e

\text{\purpleC{hipotenusa}}

hipotenusa

start text, start color #aa87ff, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text

fuente : es.khanacademy.org