la distribución binomial consiste en sumar las variables aleatorias de _________ independientes.

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Distribución Binomial

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Distribución Binomial

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Distribucion binomial

Funcion de probabilidad de la distribucion binomial

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¿Que es una variable aleatoria?

Media y varianza de una variable aleatoria discreta

Media, varianza y desviacion tpica de la distribucion binomial

Función de probabilidad

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Combinatoria

En esta sección encontrarás el contenido necesario para repasar la teoría de la distribución binomial y practicar con ejercicios tradicionales e interactivos. La variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta. Representa el número de aprobados entre n pruebas elementales siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

Para cada prueba, son posibles dos tipos de resultados:

A (éxito) y A* (fracaso)

La probabilidad de éxito (π) es la misma en cada prueba: probabilidad constante de éxito π (probabilidad de fracaso=1-π)

Se repite la prueba elemental un número fijo n

Distribución binomial

Una distribución binomial, en estadística, es una distribución de probabilidad discreta (función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra) que describe el número de éxitos al realizar experimentos o ensayos de Bernoulli independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria. ¿Te parece demasiado complicado? ¡Vamos a ver un ejemplo para que lo entiendas mejor!

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por tener solo dos resultados. Uno de ellos se denomina «éxito» y al otro, «fracaso». Por ejemplo, imagínate el lanzamiento de una moneda cuyo resultado de «sacar cara» es el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.

De este modo, en otras palabras, la distribución binomial se define como una serie de experimentos o ensayos en los que solo podemos tener 2 posibles resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito la variable aleatoria.

Por ejemplo, al lanzar un dado, la posibilidad de que el resultado sea par o impar será exactamente la misma: el 50 %. Y por muchas veces que lo lancemos, la probabilidad, en cada una de esas veces, seguirá siendo el 50 %. Igual que en el ejemplo de la moneda.

En la distribución binomial hay tres variables:

es el número de veces que repetimos el experimento.es uno de los dos resultados al que llamaremos éxito.es el otro resultado posible al que llamaremos fracaso.

La probabilidad de cada posibilidad no puede ser más grande que 1 y no puede ser negativa. Por eso, como y son los dos únicos resultados posibles, entre los dos su porcentaje debe sumar uno, por lo que

Propiedades de la distribución binomial

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:

Como hemos dicho, en cada ensayo, experimento o prueba solo puede haber dos posibles resultados (éxito o fracaso).

La probabilidad de éxito ha de ser constante. Por ejemplo, la probabilidad de que salga un número par al lanzar un dado es 0,5 y esta es constante dado que el dado no cambia en cada ensayo y las probabilidades de sacar par es constate.

La probabilidad de fracaso ha de ser también constate.

Cada experimento es independiente de los demás y no influye en las probabilidades de los que hagamos posteriormente, por lo que en cada uno la probabilidad de que se dé uno de los dos resultados será exactamente la misma.

Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo. Al lanzar un dado, no puede salir par e impar a la vez, ni al lanzar una moneda puede salir cara y cruz al mismo tiempo.

Los resultados son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no sale par, sale impar, y si no sale cara, sale cruz.

La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar así: , donde, como ya sabes, representa el número de ensayos o experimentos y la probabilidad de éxito.

Formula de la distribución binomial

La fórmula para calcular la distribución normal es la siguiente:

Donde:

= número de ensayos = número de éxitos = probabilidad de éxito= probabilidad de fracaso (1-p)

Debes tener en cuenta que lo que está entre corchetes es un resultado de una combinatoria sin repetición, el cual se obtiene con la siguiente formula:

El signo de exclamación representa el símbolo de factorial, es decir el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo: 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Ejemplos de distribución binomial

Vamos a imaginar que un 80 % de las personas de todo el mundo vieron las Olimpiadas 2016 en Río de Janeiro. Una vez finalizadas, 4 amigos se reúnen para charlar. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos las hayan visto?

fuente : www.superprof.es

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Este aviso fue puesto el 24 de diciembre de 2014.

Distribución binomial

Función de masa de probabilidad

Función de probabilidad

Función de distribución acumulada

Función de distribución de probabilidad

Parámetros

{\displaystyle n\geq 0}

número de ensayos (entero)

{\displaystyle 0\leq p\leq 1}

probabilidad de éxito (real)

Dominio

{\displaystyle x\in \{0,\dots ,n\}\!}

Función de probabilidad (fp)

{\displaystyle {n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}\!}

Función de distribución (cdf)

{\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor x\rfloor ,\lfloor x\rfloor +1)\!}

Media

{\displaystyle np\!}

Mediana Uno de

{\displaystyle \{\lfloor np\rfloor ,\lceil np\rceil \}}

1​ Moda

{\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor \!}

Varianza

{\displaystyle np(1-p)\!}

Coeficiente de simetría

{\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\!}

Curtosis

{\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}+3\!}

Entropía

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}

Función generadora de momentos (mgf)

{\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}\!}

Función característica

{\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}\!}

[editar datos en Wikidata]

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución binomial o distribución binómica es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de

{\displaystyle n}

ensayos de Bernoulli independientes entre sí con una probabilidad fija

{\displaystyle p}

de ocurrencia de éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles, a uno de estos se le denomina “éxito” y tiene una probabilidad de ocurrencia

{\displaystyle p}

y al otro se le denomina “fracaso” y tiene una probabilidad

{\displaystyle q=1-p}

. 2​

La distribución binomial se utiliza con frecuencia para modelizar el número de aciertos en una muestra de tamaño extraída con reemplazo de una población de tamaño . Si el muestreo se realiza sin reemplazo, las extracciones no son independientes, por lo que la distribución resultante es una distribución hipergeométrica, no una distribución binomial. Sin embargo, para mucho mayores que , la distribución binomial sigue siendo una buena aproximación, y se utiliza ampliamente.

Índice

1 Definición 1.1 Notación

1.2 Función de Probabilidad

1.3 Función de Distribución Acumulada

2 Experimento binomial

2.1 Ejemplo 3 Propiedades

4 Distribuciones Relacionadas

4.1 Suma de Binomiales

4.2 Distribución Bernoulli

4.3 Distribuciones limitantes

4.3.1 Teorema límite de Poisson

4.3.2 Teorema de De Moivre-Laplace

5 Propiedades reproductivas

6 Inferencia estadística

6.1 Estimación de parámetros

6.2 Intervalos de confianza

7 Véase también 8 Referencias 9 Bibliografía 10 Enlaces externos

Definición[editar]

Notación[editar]

Si una variable aleatoria discreta

{\displaystyle X}

tiene una distribución binomial con parámetros

{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

{\displaystyle 0

y {\displaystyle p} con

entonces escribiremos

{\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}

.

Función de Probabilidad[editar]

Si

{\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}

entonces su función de probabilidad está dada por

{\displaystyle \operatorname {P} [X=x]={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}}

para

{\displaystyle x=0,1,2,\dots ,n}

, siendo

{\displaystyle \!{n \choose x}={\frac {n!}{x!(n-x)!}}\,\!}

el coeficiente binomial y se lee “las combinaciones de

{\displaystyle n\,\!}

en

{\displaystyle x\,\!}

“.

En ocasiones, para calcular las probabilidades binomiales se utiliza la siguiente fórmula recursiva para calcular

{\displaystyle \operatorname {P} [X=x+1]}

en términos de

{\displaystyle \operatorname {P} [X=x]}

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X=x+1]&={\binom {n}{x+1}}p^{x+1}(1-p)^{n-(x+1)}\\&={\frac {n!}{(n-x-1)!(x+1)!}}p^{x+1}(1-p)^{n-x-1}\\&={\frac {n!(n-x)}{(n-x)!x!(x+1)}}p^{x}(1-p)^{n-x}{\frac {p}{1-p}}\\&=\left({\frac {n-x}{x+1}}\right)\left({\frac {p}{1-p}}\right){\frac {n!}{x!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=\left({\frac {n-x}{x+1}}\right)\left({\frac {p}{1-p}}\right){\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=\left({\frac {n-x}{x+1}}\right)\left({\frac {p}{1-p}}\right)\operatorname {P} [X=x]\end{aligned}}}

Función de Distribución Acumulada[editar]

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria

{\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}

está dada por

{\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} [X\leq x]=\sum _{k=0}^{x}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}

fuente : es.wikipedia.org

Distribución binomial

✅ Distribución binomial | Qué es, significado, concepto y definición. Un resumen completo. Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos...

Distribución binomial

Francisco Javier Marco Sanjuán3 min Referenciar

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria.

Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de una moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.

Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria.

Propiedades de la distribución binomial

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:

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En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).

La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara son constantes.

La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.

El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.

Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.

Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.

La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.

Formula de la distribución binomial

La fórmula para calcular la distribución normal es:

Donde:

n    = Número de ensayos/experimentos

x    = Número de éxitos

p    = Probabilidad de éxito

q    = Probabilidad de fracaso (1-p)

Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula:

El signo de exclamación en la expresión anterior representa el símbolo de factorial.

Ejemplo de distribución binomial

Imaginemos que un 80% de personas en el mundo ha visto el partido de la final del último mundial de fútbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto el partido?

Definamos las variables del experimento:

n    = 4 (es el total de la muestra que tenemos)

x    = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.

p    = probabilidad de éxito (0,8)

q    = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.

Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.

El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 24/6=4.

Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).

Por tanto, nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos haya visto el partido de la final del mundial.

Diccionario económico Estadística Matemáticas

fuente : economipedia.com