es un segmento que une dos puntos de la elipse es perpendicular al eje focal y pasa por un foco

obtenga es un segmento que une dos puntos de la elipse es perpendicular al eje focal y pasa por un foco de este sitio.

4.3 La elipse

Geometría Analítica Plana

EJERCICIOS RESUELTOS

EVALÚA LO APRENDIDO VIDEOS APRENDE MÁS Página principal 0. OBJETIVOS

1. SISTEMA COORDENADO

2. SEGMENTO RECTILÍNEO DIRIGIDO

2.1 Distancia entre dos puntos dados

2.2 Pendiente de una recta

2.3 Ángulo de dos rectas

3. LA LINEA RECTA

4. SECCIONES CÓNICAS

4.1 La circunferencia

4.2 La parábola 4.3 La elipse 4.4 La hipérbola 5. BIBLIOGRAFÍA 6. CONTACTO Mapa del sitio

4.3 La elipse

Definición

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cartesiano,  cuya  suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamaos focos, es constante y mayor que la distancia entre los focos.

Elementos de la elipse.

Vértice: puntos de intersección de la    elipse con su eje focal. Se representan con V y V´.Focos: puntos fijos. Se representan con F y F´Eje focal: recta que pasa por los focos. Es la recta Ef.Centro de la elipse: punto medio del segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la elipse. Se representa con C.Eje mayor: Segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la elipse. Representado por VV´Eje menor: Segmento de recta que pasa por el centro de la elipse y es perpendicular al eje focal. Representado por BB´Lado recto: Segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por uno de sus   focos y cuyos puntos extremos están sobre la elipse. Existen dos lados rectos ya que hay dos focos. Están representados por LR  y LR´.Forma ordinaria de la ecuación de la elipse con vértice en el origen

1. Su centro está en el origen C(0,0).

2. Su eje focal está en el eje x.

3. Las coordenadas de sus vértices son V(a, 0) y V´(-a, 0).

4. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B(0, b) y B´(0, -b)

5. Las coordenadas de sus focos son F(c, 0) y F´(-c, 0)

6. La longitud de su eje mayor VV´ es 2a

7. La longitud de su eje menor BB´ es 2b

8. La longitud de su lado recto es LR= 2b^2/a

Forma ordinaria de la ecuación de la elipse con vértice fuera del origen

La ecuación de una elipse, ya sea horizontal o vertical, cuyo vértice está fuera del origen y que se encuentra en el punto v(h,k), se obtiene reemplazando x por x – h y y por y – k en la ecuación básica de la elipse con vértice en el origen, al igual que se hizo con la parábola y la circunferencia.

Forma ordinaria de la elipse con vértice fuera del origen y eje focal en el eje x.

Sus elementos se conforman por:

Coordenadas del centro C(h,k)

Coordenadas de los vértices del eje mayor V(h + a, k) y V´(h - a, k)

Coordenadas de los vértices del eje menor B(h, k + b) y B´(h, k- b)

Coordenadas de los focos F(h + c, k) y F´(h ± c, k)

Longitud del lado recto  LR =2b^2/a

Longitud del lado mayor 2a

Longitud del lado menor 2b

Longitud del eje focal 2c

Forma ordinaria de la elipse con vértice fuera del origen y eje focal en el eje y.

sus elementos se conforman por:

Coordenadas del centro C(h, k)

Coordenadas de los vértices del eje mayor V(h, k + a) y V’(h, k – a)

Coordenadas de los vértices del eje menor B(h + b, k) y B’(h – b, k)

Coordenadas de los focos F(h, k + c) y F’(h, k  – c)

Longitud del lado recto  LR = 2b^2/a

Longitud del lado mayor 2a

Longitud del lado menor 2b

Longitud del eje focal 2c

Forma general de la ecuación de la elipse 

Donde A y C son diferentes de cero y tienen el mismo signo.

Algoritmo para determinar la ecuación de la elipse en su forma ordinaria a partir de su forma general

1.Se separan los términos de x en un paréntesis y los términos de y en otro paréntesis, pasando el término independiente (el número solo) del lado derecho.

2. Se factorizan ambos paréntesis con el máximo común divisor (mcd) de cada uno.

3. Se completa el trinomio cuadrado perfecto de cada paréntesis, dividiendo el segundo término de cada paréntesis entre 2 y elevando el resultado al cuadrado, agregando del lado derecho los números que se sumaron, para mantener el equilibrio entre las ecuaciones.

4. Se factorizan ambos paréntesis de modo que cada uno quede como un binomio al cuadrado y del lado derecho se reducen términos, quedando la ecuación de la forma b^2(x-h)+a^2(y-k) ^2=ab.

5. Se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término de la derecha, separando el lado izquierdo en dos fracciones.

6.se simplifican las fracciones del lado izquierdo para llegar a la forma ordinaria.

7. Se calculan los elementos de la elipse dependiendo de la forma, si es con eje focal horizontal o eje focal vertical.

((x-h)^2/a^2)+((y-k)^2/b^2)

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Elipse

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INTRODUCCIÓNLA ELIPSE.

Definición: Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición excluye el caso en que el punto móvil esté sobre el segmento que une los focos.

Designemos por F y F´ (fig. 1) los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de para designar esta recta. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, v y v´, llamados

La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento vv´ , se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama . La recta l´ que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el término para designarla. El l´ corta a la elipse en dos puntos, A y A´ , y el segmento AA´ se llama Un segmento tal como BB´ que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama . En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal como EE´, se llama Una cuerda focal, tal como LL´ perpendicular al eje focal l se llama Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD´, se llama Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F´P que unen los focos con el punto P se llaman

Ecuación de la Elipse de centro el origen y ejes de coordenadas los ejes de la Elipse.

Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (fig. 2). Los focos F y F´ están sobre el eje X. Como el centro O es el punto medio del segmento FF´ las coordenadas de F y F´ serán, por ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica

(1)

En donde a es una constante positiva y mayor que c.

Por el teorema de la distancia d entre dos puntos, tenemos

= , =

, de manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por la ecuación

+ = 2a (2).

Para simplificar la ecuación (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da

cx+a2 = a

Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos

de donde, (3)

Como 2a >2c es a2>c2 y

-c2 es un número positivo que puede ser reemplazado por el número positivo b2, es decir,

b2= - c2 (4)

Si en (3) reemplazamos

- c2 por b2 obtenemos,

b2x2+a2y2= a2b2

y dividimos por a2b2 , se obtiene, finalmente,

(5)

Ahora discutiremos la ecuación (5). Por ser a y -a las intercepciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V y V´ son (a, 0) y (-a, 0) respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en la definición de la elipse. Las intercepciones con el eje Y son b y - b por tanto, las coordenadas de los extremos A y A´ del eje menor son (0, b) y (0, - b) respectivamente la longitud del eje menor es igual a 2b.

Por la ecuación (5) vemos que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.

Si de la ecuación (5) despejamos , obtenemos

(7)

Luego, se obtienen valores reales de y solamente para valores de x del intervalo

(8)

Si de la ecuación (5) despejamos obtenemos ,

De manera que se obtienen valores reales de solamente para valores de dentro del intervalo

(9).

De (8) y (9) se deduce que la elipse está limitada por el rectángulo cuyos lados son las rectas

y

. Por tanto la elipse es una curva cerrada.

La abscisa del foco F es c (figura 2). Si en (7) sustituimos por este valor se obtiene las ordenadas correspondientes que son

de donde por (4) resulta

Por tanto la longitud del lado recto para el foco F

, y de forma análoga la longitud del lado recto para el foco F´ es

.

Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón

y se representa por la letra , de (4) tenemos que

(10).

Y como , la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.

Hasta aquí hemos considerado el caso en que el centro de la elipse es el origen y su eje focal coincide con el eje . Si consideramos el caso en que el centro de la elipse es el origen, pero su eje focal coincide con el eje , las coordenadas de los focos son entonces F(0,c) y F´(0,-c). Luego por el mismo procedimiento empleado para deducir la ecuación (5) hallamos que la ecuación de la elipse es

(11)

Veamos la siguiente que resume los resultados obtenidos hasta este momento.

fuente : html.rincondelvago.com

Concepto y elementos de la elipse

A P R E N D I E N D O

M A T E M Á T I C A S

A P R E N D I E N D O M A T E M Á T I C A S  

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Concepto y elementos de la elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse:1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.Relación entre la distancia focal y los semiejes

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Ecuaciones de la hipérbola con           centro en el origen

Elementos de una hipérbola con         C(0,0), dados sus vértices y focos     (ecuaciones)

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Hipérbola fuera del origen                elementos

Concepto y elementos de la elipse

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La circunferencia

En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro, y del que hablaremos más adelante con detalle en la parte de elementos básicos de la circunferencia.

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Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo.

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La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

La hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

fuente : www.cecyt3.ipn.mx