es la representación de la forma general de la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.
Santiago
Chicos, ¿alguien sabe la respuesta?
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Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
Ya conoces la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen. Si trasladamos el centro de la …
Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
Aprenderás a calcular la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen.
Ya conoces la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen. Si trasladamos el centro de la circunferencia unidades a la derecha y unidades hacia arriba, obtenemos una circunferencia que está fuera del origen. En este caso obtenemos la circunferencia que obtuvimos cuando caracterizamos la circunferencia.
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Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
La ecuación de la circunferencia con centro en el punto y radio es:
Ejemplo 1
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto y radio .
Ya sabemos que el centro es y el radio es 4. Solamente debemos sustituir los datos en la fórmula:
Ejemplo 2
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto y es tangente al eje .
En este caso sabemos que la circunferencia es tangente al eje . Esta información nos ayudará a calcular el radio de la circunferencia. Empezamos dibujando la situación:
Del dibujo se deduce que el radio de la circunferencia es 2.
Ahora que conocemos dónde está el centro y la medida del radio de la circunferencia, podemos calcular su ecuación:
Observa cómo la figura indica de inmediato la medida del radio. En este caso sencillo, también es posible darse cuenta imaginándose la figura. Pero eso no siempre ocurrirá. En otros problemas te verás obligado a realizar la figura para poder encontrar cómo están relacionados los datos contenidos en el texto del problema.
En algunos casos tendremos que utilizar fórmulas que ya conoces, principalmente las que estudiamos en la primera unidad del curso. El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos.
Ejemplo 3
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto y que pasa por el punto
Empezamos dibujando la situación en un sistema de ejes coordenados:
Ahora vemos que el radio de la circunferencia es la distancia desde el centro de la circunferencia hasta el punto .
Vamos a calcular esta distancia usando la fórmula de distancia entre dos puntos:
Ahora podemos calcular la ecuación de la circunferencia:
Esta es la ecuación buscada.
En otros problemas nos encontraremos con la necesidad de aplicar conocimientos de semestres anteriores.
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Ecuación de la Circunferencia con Centro Fuera del Origen
La ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen es determinada usando las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia.
Ecuación de la Circunferencia con Centro Fuera del Origen
Las circunferencias son formadas por un conjunto de puntos que se ubican a la misma distancia desde un punto fijo. El punto fijo es denominado el centro de la circunferencia y la distancia de los puntos es denominada el radio. La ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen es encontrada usando la ecuación de una circunferencia que tiene un centro en el origen y luego aplicamos traslaciones verticales y horizontales.
A continuación, aprenderemos a encontrar ecuaciones para este tipo de circunferencias. Luego, veremos algunos ejercicios de práctica.
PRECÁLCULO
Aplicar la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.
Ver ejerciciosContenidosCircunferencias con centro fuera del origen
Ejercicios resueltos de ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
Ejercicios de ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen para resolver
Véase también
Circunferencias con centro fuera del origen
Para encontrar la ecuación de una circunferencia centrada fuera del origen, usamos la ecuación de una circunferencia que tiene un centro en el origen y luego aplicamos traslaciones verticales y horizontales.
Recordemos que la ecuación de una circunferencia con el centro en el origen es
{{x}^2}+{{y}^2}={{r}^2}
x 2 +y 2 =r 2
. Esta ecuación fue derivada usando el teorema de Pitágoras. Si es que reescribimos a esta ecuación usando el centro, tendríamos
{{(x-0)}^2}+{{(y-0)}^2}={{r}^2}
(x−0) 2 +(y−0) 2 =r 2 .
Ahora, consideremos la siguiente circunferencia:
Podemos ver que esta circunferencia tiene a su centro ubicado en el punto
(h, k)
(h,k). Entonces, si es que usamos la ecuación de la circunferencia con este centro, tenemos:
{{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2}
(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2
Esta es la ecuación de la circunferencia centrada fuera del origen, en donde r es el radio,
(x, y)
(x,y) es cualquier punto que se ubica en la circunferencia y
(h, k)
(h,k) son las coordenadas del centro de la circunferencia.
Ejercicios resueltos de ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
Los siguientes ejercicios facilitan el entendimiento de la aplicación de la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Encuentra el radio y el centro de la circunferencia
{{(x-2)}^2}+{{(x-3)}^2}=9
(x−2) 2 +(x−3) 2 =9.
Solución
EJERCICIO 2
¿Cuál es el radio y el centro de una circunferencia que tiene la ecuación
{{(x+4)}^2}+{{(y-5)}^2}=16
(x+4) 2 +(y−5) 2 =16?
Solución
EJERCICIO 3
Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto (2, -3) y tiene un radio de 4.
Solución
EJERCICIO 4
Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto (-1, 2) y en la que el punto (2, 6) es parte de la circunferencia.
Solución
Ejercicios de ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen para resolver
Resuelve los siguientes ejercicios usando lo aprendido sobre la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen. Puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba en caso de necesitar ayuda.
¿Cuál es el radio y el centro de la circunferencia{{(x-4)}^2}+{{(y-7)}^2}=25
(x−4) 2 +(y−7) 2 =25?
Escoge una respuesta
¿Cuál es el radio y el centro de la circunferencia{{(x-6)}^2}+{{(y+4)}^2}=49
(x−6) 2 +(y+4) 2 =49?
Escoge una respuesta
Encuentra la ecuación del círculo que tiene el centro en (-2, 5) y un radio de 5.
Escoge una respuesta
Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en (6, -1) y en la que el punto (5, 2) se ubica en la circunferencia.
Escoge una respuesta
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre ecuaciones de circunferencias? Mira estas páginas:
Ecuación de la Circunferencia con Centro en el Origen
Ecuaciones Generales de la Circunferencia
Ecuación de la Circunferencia que Pasa por Tres Puntos
Ecuación de la Circunferencia en su Forma General
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▷ Ecuación de la Circunferencia con Centro fuera del Origen
Cuando hemos aprendido a resolver e interpretar ejercicios basados en la Ecuación de la Circunferencia con centro el origen, nos topamos con un caso más
Ecuación de la Circunferencia con Centro fuera del Origen
Por: Carlos julián 3 Comentarios
Cuando hemos aprendido a resolver e interpretar ejercicios basados en la Ecuación de la Circunferencia con centro el origen, nos topamos con un caso más peculiar que se trata de la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen. Y esto hace que nuestro cálculo sean un poco más diferentes a los anteriores. Pero nada complicado
Si bien, en la ecuación de la circunferencia con centro en el origen usamos la forma canónica, en el caso de la ecuación fuera del origen, utilizaremos la forma ordinaria. Qué podemos apreciar en la siguiente fórmula:
Qué de forma gráfica está representada, como se muestra en la imagen:
Ejercicios Resueltos de la Ecuación de la Circunferencia fuera del origen
Veamos como resolver problemas de la circunferencia cuando su centro está fuera del origen, estos ejemplos harán que nuestro conocimiento sea más profundo conforme se avanzan en los temas de geometría analítica y el estudio de cónicas.
Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (5, -3) y su radio es de √19Solución:Vamos a sustituir nuestros datos en la ecuación ordinaria de la circunferencia, porque es lo que el problema nos pide. Nuestros datos serán los siguientes:
h = 5 k = -3 r = √19
Y la ecuación ordinaria es:
Al sustituir tendremos lo siguiente:
Realizando las operaciones indicadas, tenemos:
Resultado:La respuesta es hasta este punto, porque nos piden solamente la ecuación en su forma ordinaria. No nos piden la ecuación en su forma general, como se verá en el siguiente ejemplo. Pero antes, debemos mostrar como se ve la gráfica de este ejemplo 1.
A diferencia del ejemplo anterior, en este problema nos piden la ecuación general de la circunferencia, por lo que el proceso final será “un poco diferente”, veamos primero nuestros datos:
h = 2 k = -1 r = 6
Nuestra fórmula o ecuación ordinaria es:
Sustituyendo nuestros datos en la fórmula, tenemos que:
Realizando las operaciones indicadas
Hasta este punto tenemos la forma ordinaria, sin embargo, para poder dar con la ecuación general tenemos que resolver los binomios, reducir e igualar a cero.
Simplificando e igualando a cero
Reduciendo, finalmente tenemos:
Resultado:
Veamos otro ejemplo, pero sin tener al radio como dato, es decir que lo vamos a encontrar.
Ejemplo 3. Determine la ecuación general de la circunferencia, si el centro está en las coordenadas (7, -4) y dicha circunferencia pasa por el punto (-5, 1).Solución:En este ejemplo, no nos dan el radio. Pero si nos indican que la circunferencia tiene centro en (7 , -4) y que en uno de los puntos donde pasa la circunferencia es el punto (-5, 1). Este es un dato importante, porque nos están indicando la dimensión del radio. Solo debemos saber que distancia hay desde el centro hasta el punto de la circunferencia.
Entonces aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos.
En vez de colocar “d” pondremos “r”, ya que estamos haciendo referencia al radio.
Sustituimos nuestros datos en la fórmula:
Resolviendo.
Entonces podemos decir que nuestro centro es C (7, -4) y nuestro radio = 13. Sustituyendo estos datos en la ecuación ordinaria, tenemos:
Recordar que: h = 7 k = -4 r = 13 Reduciendo.
Resolviendo el binomio, obtenemos
Dónde, finalmente tenemos la ecuación general de la circunferencia.
Resultado:
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