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    es el conjunto de todos los números reales que den valores de números reales a una función

    Santiago

    Chicos, ¿alguien sabe la respuesta?

    obtenga es el conjunto de todos los números reales que den valores de números reales a una función de este sitio.

    Dominio y Rango

    Dominio y RangoObjetivos de Aprendizaje

    ·         Definir el dominio y el rango.

    ·         Identificar el dominio y el rango de relaciones descritas con palabras, símbolos, tablas, conjuntos de pares ordenados y gráficas.

    Introducción

    Las relaciones y las funciones describen la interacción entre variables que están ligadas. Estas relaciones incluyen valores independientes y entradas, que son las variables que pueden ser manipuladas por las circunstancias. También incluyen valores dependientes y salidas, que son las variables determinadas por los valores independientes. Existe otro par de componentes que debemos considerar cuando hablamos de relaciones, se llaman dominio y rango.

    El dominio de una función o relación es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles.

    El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas las salidas posibles.

    Al poner a todas las entradas y las salidas en grupos separados, el dominio y el rango nos permiten encontrar y explorar patrones en cada tipo de variable.

    Dominio y Rango: Ejemplos y Notación

    El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos. Ya que el tiempo transcurre continuamente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

    El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 12 pies también con respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies. Ya que la altura cambia constantemente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

    Ahora veamos otro ejemplo de dominio y rango, Aquí hay una serie de figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.

    Podemos crear una función a partir de éstas usando el número de la figura como la entrada, y el número de cuadros que la conforman como la salida.

    Una entrada de 1 tiene una salida de 1, ya que la figura 1 tiene sólo un cuadrado. Una entrada de 2 tiene una salida de 5, ya que la figura 2 contiene 5 cuadrados. Una entrada de 3, produce una salida de 9, ya que la figura 3 está formada de 9 cuadros. El dominio de ésta función se obtiene contando el número de entradas 1, 2, 3 que identifican cada una de las figuras usadas. Las entradas de ésta función son valores discretos, o valores que cambian en incrementos y no continuamente como la función del lanzamiento de la pelota. Sólo hay 3 figuras y por lo tanto las únicas posibles entradas son 1, 2, y 3. Entonces, el dominio de ésta función es 1, 2, 3. Podemos agrupar ésta lista de valores dentro de corchetes para indicar que forman un conjunto.

    Dominio: {1, 2, 3}

    El rango es el número de cuadros en cada figura. Las figuras tienen sólo 1, 5, o 9 cuadros, y ése es el rango. No hay ninguna figura que tenga 2 o 3.5 o cualquier otro número de cuadros. Como el dominio, el rango esta hecho de un conjunto de valores discretos.

    Rango: {1, 5, 9}

    Hemos limitado la entrada y la salida a 3 cada una porque sólo nos proporcionaron 3 figuras. ¿Cómo sería la notación del dominio y del rango si nos hubieran dicho que el patrón continuaría indefinidamente? ¡Fácil! Sólo añadimos tres puntos al final del conjunto de valores, para indicar que la secuencia continúa, así:

    Dominio: {1, 2, 3, …}

    Rango: {1, 5, 9, …}

    Jamie vende pasteles caseros en $15 cada uno. La cantidad de dinero que gana es una función de cuántos pasteles puede vender: $0 si no vende ninguno, $15 si sólo vende uno, $30 si vende 2, y así sucesivamente. ¿Cuáles son el dominio y el rango de la función?

    A) Dominio: {0, 15, 30, …}  Rango: {0, 1, 2, …}

    B) Dominio: {0, 1, 2, …}  Rango: {0, 15, 30, …}

    C) Dominio: {0, 1, 2}  Rango: {0, 15, 30}

    D) Dominio: todos los números mayores o iguales a 0

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    Dominio y Rango: Tablas y Conjuntos de Pares Ordenados

    Las relaciones también pueden ser mostradas como tablas o como conjuntos de pares ordenados. Encontrar el dominio y el rango en estas situaciones es simple, siempre y cuando recordemos qué es lo que significan los términos. Si una relación matemática es dada en una tabla, los valores independientes generalmente se enlistan en la columna izquierda, mientras que los valores dependientes normalmente se ponen en la columna derecha.

    fuente : content.nroc.org

    Dominio y rango

    2. Dominio y Rango.

    La regla de correspondencia es el corazón de una función, pero esta no queda determinada por completo sino hasta cuando se especifica su dominio. El de una función es el conjunto de objetos a los que la función asigna valores. El es el conjunto de valores obtenidos.

    Cuando no se especifica el dominio para una función, siempre supondremos que es el mayor conjunto de números reales para los que la regla de la función tenga sentido y dé valores de números reales. A este dominio se le llama el

    Problema. 15.

    Considérese la función  f(x) = x2 +1. Encontrar su dominio y rango.

    Los valores de la función se obtienen sustituyendo la x en esta ecuación. Por ejemplo,

    f(-1) = (-1)2 + 1 = 1 + 1 = 2, f(2) = (2)2 + 1 =  4 + 1 = 5.

    Evaluando la función en distintos valores obtenemos la siguiente tabla y diagrama.

    x f(x) = x2 + 1 3 10 2 5 1 2 0 1 -1 2 -2 5 -3 10

    De aquí observamos que el dominio de la función son todos los números reales, ya que para cada valor de x real su imagen es siempre un número real. En cambio el rango es el intervalo [1, +∞). Ya que nunca vamos a obtener para un número real x un valor menor de 1.

    Problema. 16.

    Si se define una función f como: f(x) = x2 + 1 con   -3 £ x £ 3.

    Entonces el dominio de f está dado como el intervalo cerrado [-3, 3]. Observa que la expresión algebraica es la misma que la del ejemplo anterior, solo que en este caso, se está limitando el dominio de la función a los valores de x comprendidos entre -3 y 3. El rango de g es el intervalo [1, 10] (ver el diagrama de la figura anterior).

    Problema. 17.

    Encontrar el dominio y el rango de la función f(x) = x2 + 4.

    Solución: El dominio de f son todos los reales (-∞, +∞), puesto que x2 + 4 es un numero real para todo número real x. Puesto que x2 ≥ 0, para todo x, entonces x2 + 4≥ 4, de lo anterior deducimos que f(x) ≥ 4. Por lo tanto, cualquier número ≥ 4 es la imagen de al menos una x del dominio. Por ejemplo, para encontrar una x tal que f(x) = 7, resolvemos la ecuación 7 = x2 + 4 para x y obtenemos . En general, para cualquier k≥4, al hacer f(x) = k , obtenemos k = x2 + 4 y eso nos da las soluciones . Esto prueba que el rango de la función es el conjunto de todos los números ≥4. Es decir el intervalo [4, +∞).Observación 1. Hay dos situaciones en las que el dominio de una función no consiste de todos los números reales. Estas situaciones ocurren cuando se tiene una regla de una función que conduce a una división por cero o a la raíz cuadrada de números negativos. Ver los ejemplos 17, 18, 19.

    Problema. 18.

    Encontrar el dominio de la función siguiente:

    Solución.  Cuando x = 1 el denominador de la función es cero. Pero cuando x ¹ 1 el denominador es siempre un número real. Por lo tanto el dominio de la función h consiste de todos los números reales . Esto se puede escribir de las siguientes dos maneras (1) Dh = R - {1}, o bien (2) Dh = (-∞, 1)È(1, +¥).

    Problema. 19.

    Encontrar el dominio de la función f(x) = .

    Solución.  Dado que

    y la división entre 0 no está permitida, vemos que f (x) no está definida cuando x = 0 o x = 1.

    Así que el dominio de f  es: Df que también se puede expresar en notación de intervalos como (-¥, 0) È (0, 1) È (1, +¥).

    Problema. 20.

    Sea f la función definida por la ecuación . Determinar su dominio y su rango.

    Solución. Debido a que los números se limitan a los números reales, es función de x sólo para x – 2 ≥ 0, ya que para cualquier x que satisfaga esta desigualdad, se determina un valor único de . Sin embargo si x< 2, se obtiene la raíz cuadrada de un número negativo y en consecuencia no existe un numero real y. Por lo tanto x debe de estar restringida a x ≥ 2, así pues, el dominio de f es el intervalo [2, +¥), y el rango de f es [0, +¥).

    Problema. 21.

    Determinar el dominio y el rango de la función

    Solución. El radicando 3 – 6 debe ser no negativo. Al resolver 3 - ³ 0 se obtiene ³ 2, por lo cual el dominio de es [2, +¥). Ahora, por definición para x ≥ 2, y en consecuencia, . Puesto que 3x – 6 y  aumentan cuando aumenta, se concluye que el rango de es [7, +¥).

    Determinar el dominio de h(x) =

    Solución: Puesto que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como número real), el dominio de consta de todos los valores de tales que

    2 – x – x 2 = (2 + x) (1 – x) ³ 0

    Resolviendo esta desigualdad tenemos que su solución es el intervalo [-2, 1]. Por consiguiente el dominio de h es precisamente este intervalo.

    Problema. 22.

    Identifique el dominio de las siguientes funciones:

    () y = 4x2 + 7x – 19              (b)              (c)

    (d)                           (e)            (f)

    (g)                       (h)

    Solución: El dominio de una función es el  conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente. Si no se especifica el dominio, se supone que éste consta de todos los números reales posibles para que los asuma la variable independiente. Puesto que x puede asumir cualquier valor en (a), el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales.

    (b) Como una raíz cuadrada se define solamente para  números no negativos (es decir, x ³ 0), es necesario que t – 5  ³ 0, Puesto que esto sólo se cumplirá si ³ 5, el dominio de la función se expresa como [t ³ 5].

    fuente : www.mat.uson.mx

    Dominio y rango de una función

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    Dominio y rango de una función

    El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.

    (En gramática, probablemente le llame al dominio el conjunto reemplazo y al rango el conjunto solución. Quizá también estos han sido llamados la entrada y salida de la función.)

    Ejemplo 1:

    Considere la función mostrada en el diagrama.

    Aquí, el dominio es el conjunto { A , B , C , E }. D no está en el dominio, ya que la función no está definida para D .

    El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.

    Ejemplo 2:

    El dominio de la función

    f ( x ) = 1/ x

    es todos los números reales excepto el cero (ya que en x = 0, la función no está definida: la división entre cero no está permitida!).

    El rango también es todos los números reales excepto el cero. Puede ver que hay algún punto en la curva para cada valor de y excepto para y = 0.

    Los dominios pueden también estar explícitamente especificados, si hay valores para los cuales la función pudiera estar definida, pero que no deseamos considerarlos por alguna razón.

    Ejemplo 3:

    La notación siguiente muestra que el dominio de la función está restringido al intervalo (–1, 1).

    f ( x ) = x 2 ,     –1 x 1

    La gráfica de esta función es como se muestra. Dese cuenta de los círculos abiertos, que muestran que la función no está definida en x = –1 y x = 1. Los valores del rango de y desde 0 hasta el 1 (incluyendo el 0, pero no incluyendo el 1). Así el rango de la función es

    0 y < 1.

    fuente : www.varsitytutors.com

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    Santiago 5 day ago
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