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Esperanza matemática

✅ Esperanza matemática | Qué es, significado, concepto y definición. Un resumen completo. La esperanza matemática de una variable aleatoria X, es el número que expresa el valor...

Esperanza matemática

José Francisco López4 min Referenciar

La esperanza matemática de una variable aleatoria X, es el número que expresa el valor medio del fenómeno que representa dicha variable.

La esperanza matemática, también llamada valor esperado, es igual al sumatorio de las probabilidades de que exista un suceso aleatorio, multiplicado por el valor del suceso aleatorio. Dicho de otra forma, es el valor medio de un conjunto de datos. Esto, teniendo en cuenta que el término esperanza matemática está acuñado por la teoría de la probabilidad.

Mientras que en matemáticas, se denomina media matemática al valor promedio de un suceso que ha ocurrido. En distribuciones discretas con la misma probabilidad en cada suceso, la media aritmética es igual que la esperanza matemática.

Ejemplo de esperanza matemática

Vamos a ver un ejemplo sencillo para entenderlo.

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Imaginemos una moneda. Dos caras, cara y cruz. ¿Cual sería la esperanza matemática (valor esperado) de que salga cara?

La esperanza matemática se calcularía como la probabilidad de que, tirando la moneda un número muy grande de veces, salga cara.

Dado que la moneda solo puede caer en una de esas dos posiciones y ambas tienen la misma probabilidad de salir, diremos que la esperanza matemática de que salga cara es una de cada dos, o lo que es lo mismo, el 50% de las veces.

Vamos a hacer una prueba y vamos a tirar una moneda 10 veces. Supongamos que la moneda es perfecta.

Tiradas y resultado:

Cara. Cruz. Cruz. Cara. Cruz. Cara. Cara. Cara. Cruz. Cruz.

¿Cuantas veces ha salido cara (contamos las C)? 5 veces ¿Cuantas veces ha salido cruz (contamos las X)? 5 veces. La probabilidad de que salga cara será de 5/10=0,5 o, en porcentaje, del 50%.

Una vez ha ocurrido ese suceso podemos calcular la media matemática del número de veces que ha ocurrido cada suceso. El lado cara ha salido una de cada dos veces, es decir, un 50% de las veces. La media coincide con la esperanza matemática.

Cálculo de la esperanza matemática

La esperanza matemática se calcula utilizando la probabilidad de cada suceso. La fórmula que formaliza este cálculo se enuncia como sigue:

Dónde:

X = valor del suceso.P = Probabilidad de que ocurra.i = Periodo en el que se da dicho suceso.N = Número total de periodos u observaciones.

No siempre la probabilidad de que ocurra un suceso es la misma, como con las monedas. Existen infinidad de casos en que un suceso tiene más probabilidad de salir que otro. Por eso utilizamos en la fórmula la P. Además, al calcular números matemáticos debemos multiplicar por el valor del suceso. Abajo vemos un ejemplo.

¿Para qué se utiliza la esperanza matemática?

La esperanza matemática se utiliza en todas aquellas disciplinas en las que la presencia de sucesos probabilísticos es inherente a las mismas. Disciplinas tales como la estadística teórica, la física cuántica, la econometría, la biología o los mercados financieros. Una gran cantidad de procesos y sucesos que ocurren en el mundo son inexactos. Un ejemplo claro y fácil de entender es el de la bolsa de valores.

En la bolsa de valores, todo se calcula en base a valores esperados ¿Por qué valores esperados? Porque es lo que esperamos que suceda, pero no podemos confirmarlo. Todo se basa en probabilidades, no en certezas. Si el valor esperado o esperanza matemática de la rentabilidad de un activo es de un 10% anual, querrá decir que, según la información que tenemos del pasado, lo más probable es que la rentabilidad vuelva a ser de un 10%. Si solo tenemos en cuenta, claro está, la esperanza matemática como método para tomar nuestras decisiones de inversión.

Dentro de las teorías sobre mercados financieros, muchas utilizan este concepto de esperanza matemática. Entre esas teorías se encuentra la que desarrolló Markowitz sobre las carteras eficientes.

En números, simplificando mucho, supongamos que las rentabilidades de un activo financiero son las siguientes:

Rentabilidad en los años 1, 2, 3 y 4.

12%. 6%. 15% 12%

El valor esperado sería el sumatorio de las rentabilidades multiplicadas por su probabilidad de suceder. La probabilidad de que «suceda» cada rentabilidad es de 0,25. Tenemos cuatro observaciones, cuatro años. Todos los años tienen la misma probabilidad de repetirse.

Esperanza = ( 12 x 0,25 ) + ( 6 x 0,25 ) + ( 15 x 0,25 ) + ( 12 x 0,25 ) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%

Teniendo en cuenta esta información, diremos que la esperanza de la rentabilidad del activo es del 11,25%.

Esperanza de vida

Diccionario económico Estadística Matemáticas

fuente : economipedia.com

Esperanza (matemática)

Esperanza (matemática)

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En matemática, concretamente en la rama de estadística, la esperanza (denominada asimismo valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria {\displaystyle X} , es el número {\displaystyle \mathbb {E} [X]} o {\displaystyle {\text{E}}[X]} que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

En matemática, concretamente en la rama de estadística, la esperanza (denominada asimismo valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria

{\displaystyle X} , es el número

{\displaystyle \mathbb {E} [X]}

o

{\displaystyle {\text{E}}[X]}

que formaliza la idea de de un fenómeno aleatorio. Es un concepto análogo a la media aritmética de un conjunto de datos.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad promedio que se «espera» como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser «esperado» en el sentido más general de la palabra (el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible).

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}\\[6pt]={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5\end{aligned}}}

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al tirar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.

Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta francesa tiene 37 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 37 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:

{\displaystyle \left(-1\cdot {\frac {36}{37}}\right)+\left(35\cdot {\frac {1}{37}}\right)}

que es aproximadamente -0,027027. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 2,7 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.972973 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un «juego justo».

Nota: El primer término es la «esperanza» de perder la apuesta de 1€, por eso el valor es negativo. El segundo término es la esperanza matemática de ganar los 35€. La esperanza matemática del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor esperado a perder.

Índice

1 Definición 1.1 Caso discreto 1.2 Caso continuo 1.3 Caso general 1.4 Momentos 2 Historia 3 Propiedades 3.1 Linealidad 3.2 Independencia 4 Véase también 5 Referencias 6 Bibliografía

Definición[editar]

Caso discreto[editar]

Para una variable aleatoria discreta

{\displaystyle X}

con función de probabilidad

{\displaystyle \operatorname {P} [X=x_{i}]}

con

{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}

la esperanza se define como

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\operatorname {P} [X=x_{i}]}

Caso continuo[editar]

Para una variable aleatoria continua

{\displaystyle X}

con función de densidad

{\displaystyle f_{X}(x)}

el valor esperado se define como la integral de Riemann

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\mathbb {R} }xf_{X}(x)dx}

Caso general[editar]

En general, si {\displaystyle X}

es una variable aleatoria definido en el espacio de probabilidad

{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}

entonces el valor esperado de

{\displaystyle X} , denotado por

{\displaystyle \operatorname {E} [X]}

, está definido como la integral de Lebesgue

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X(\omega )dP(\omega )\,\!}

Para variables aleatorias multidimensionales, su valor esperado está definido por componente, esto es

{\displaystyle \operatorname {E} [(X_{1},\dots ,X_{n})]=(\operatorname {E} [X_{1}],\dots ,\operatorname {E} [X_{n}])}

y, para una matriz aleatoria

{\displaystyle X} con elementos

{\displaystyle X_{i,j}}

,

{\displaystyle (\operatorname {E} [X])_{i,j}=\operatorname {E} [X_{i,j}]}

.

Momentos[editar]

Las esperanzas

{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]}

para

{\displaystyle k=1,2,...}

se llaman momentos de orden

{\displaystyle k\,\!}

o el {\displaystyle k}

-ésimo momento de la variable aleatoria

{\displaystyle X}

. Más importantes son los momentos centrados

{\displaystyle \operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{k}]}

fuente : es.wikipedia.org

La esperanza matemática de una variable aleatoria X by alberto jonathan carrasco francisco

Otros ejemplos Valor esperado, valor no esperado (improbable). Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad promedio

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Otros ejemplos

Valor esperado, valor no esperado (improbable).

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad promedio que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado” dicho de otra manera improbable.

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo y y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al tirar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.

Juegos de azar.

Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta francesa tiene 37 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 37 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es

Que es aproximadamente -0,027027. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 2,7 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.97273 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".

fuente : prezi.com