al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?
Santiago
Chicos, ¿alguien sabe la respuesta?
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El teorema de PitágorasPitágoras estudió los triángulos rectángulos, y las relaciones entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, antes de derivar su teoría.
Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Esta relación se representa con la fórmula:
En el recuadro anterior, habrás notado la palabra “cuadrado,” así como los 2s arriba de las letras en Elevar al cuadrado un número significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, por ejemplo, elevar al cuadrado el número 5, multiplicas 5 • 5, y para elevar al cuadrado el número 12, multiplicas 12 • 12.
Cuando ves la ecuación , puedes pensar en esto como “la longitud del lado a multiplicada por sí misma, mas la longitud del lado bmultiplicada por sí misma es igual a la longitud de c multiplicada por sí misma.”
Intentemos el Teorema de Pitágoras con un triángulo.
El teorema es válido para este triángulo rectángulo — la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Y, de hecho, es válido para todos los triángulos rectángulos.
Álgebra para analizar los objetos geométricos
Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?
Imaginamos un triángulo rectángulo de modo que
su base, bb, es la sombra del árbol,
su altura, aa, es la altura del árbol y
su hipotenusa, hh, es la distancia desde el árbol al extremo de la sombra.
Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular su altura, aa:
Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:
Por tanto, la altura del árbol es, aproximadamente, 3,12 metros.
Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.
Hay que tener en cuenta que las unidades de medida no son las mismas. Podemos escribirlas todas en metros, así que
70 cm = 7 dm = 0.7 m
El triángulo que tenemos es
La altura es uno de los catetos. Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcularla:
Por tanto,
Pero como aa es la altura, debe ser positiva. Por tanto, la altura será, aproximadamente
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-3, 2) y (7, -3).
Solución-Juan Beltrán:
Definición: el ángulo de inclinación de una recta en el plano es aquél formado por el semieje positivo X y la recta.
Si A es el ángulo de inclinación, se tiene entonces que:
m = tanA
Teorema: Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos distintos de una recta, la pendiente, m, de la recta está dada por:
Ética
Orientación Educativa
fuente : guias-para-examenes-finales.jimdosite.com
TEOREMA DE PITAGORAS: PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS: ESO
Problemas resueltos de aplicación del Teorema de Pitágoras para secundaria. Calcular los lados de rectángulos; calcular la hipotenusa; calcular los lados de un cuadrado sabiendo su área; calcular la altura de un triángulo equilátero; etc. Test en línea sobre el teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras
Contenido de esta página:
Introducción y Teorema
12 Problemas Resueltos: aplicación del Teorema de PitágorasTest sobre Pitágoras (10 problemas)1. Introducción
Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos y e hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces,
Recordemos que:
el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π / 2 radianes.
la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto
Nota: siempre es mayor que los dos catetos, es decir, y .El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos. Existen cientos de demostraciones de este resultado.
La pirámide de Kefrén (siglo XXVI a. C.) fue construida en base al llamado , que es el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.
La comprensión del teorema es sencilla y tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana, como veremos en los problemas de esta sección. Pero también tiene sus aplicaciones en las matemáticas avanzadas (análisis vectorial, análisis funcional...).
2. 12 Problemas Resueltos
Problema 1Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.
Ver solución
Problema 2Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?
Ver solución
Problema 3Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden y .
Ver solución
Problema 4 (dificultad muy alta)Calcular la altura del siguiente triángulo sabiendo que sus lados miden , y su base 3.
Ver solución
Problema 5Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales (altura y anchura) miden 16 y 12.
Ver solución
Problema 6Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.
Ver solución
Problema 7
Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?
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Problema 8La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la diagonal de la pantalla en unidades de pulgadas. Una pulgada equivale a 2,54 centímetros:
Si David desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco de 96x79cm, ¿de cuántas pulgadas debe ser el televisor?
Ver solución
Problema 9Un clavadista está entrenando en una piscina con una plataforma. Cuando realiza el salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2,4 metros bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo una línea transversal de 8,8 metros de longitud.
Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11,2 metros, ¿cuál es la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)?
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Problema 10Un aparcamiento con forma rectangular de dimensiones 35x98 metros es controlado por cuatro cámaras de vigilancia.
La cámara A observa el área 1; la cámara B, el área 2; la cámara C, el área 3; y la cámara D, el área 4.
Calcular el porcentaje del área del aparcamiento que no es vigilada por ninguna cámara.
Ver solución
Problema 11Un parque de diversiones quiere construir una nueva atracción que consiste en una tirolesa que parte desde la base superior de una columna con forma cilíndrica. Si el radio de la columna es
R = 2 m R=2m
metros y el área de su lateral es de 120 metros cuadrados, calcular la longitud del cable de la tirolesa para que alcance el suelo a 40 metros de distancia de la columna.
Ver solución
Problema 12 (dificultad alta)Distancias Sol-Tierra-Luna. Supongamos que la luna está en la fase de su primer cuarto, lo que significa que desde la Tierra la vemos del siguiente modo
siendo la mitad clara la que vemos, es decir, la iluminada por el Sol.
Sabemos que la distancia de la Tierra a la Luna es de 384100km y de la Tierra al Sol es de unos 150 millones de kilómetros. Se desea calcular la distancia de la Luna al Sol en esta fase (considerar las distancias desde los centros).
Plantear el problema, pero no es necesario calcular el resultado.
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ACTIVIDAD PITAGORASEjemplos1.Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si ladistancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de lasombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?SOLUCIÓNImaginamos un triángulo rectángulo de modo quesu base,b, es la sombra del árbol,su altura,a, es la altura del árbol ysu hipotenusa,h, es la distancia desde el árbol al extremo de la sombra.Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular sualtura,a:
Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:Por tanto, la altura del árbol es, aproximadamente,3,12 metros.2.Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyadasobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.SOLUCIÓNHay que tener en cuenta que las unidades de medida no son las mismas. Podemosescribirlas todas en metros, así que70 cm = 7 dm = 0.7 mEl triángulo que tenemos es
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Tri Ngulo, Cateto, Tri Ngulo Rect Ngulo, Hipotenusa, Pit Goras, Rect Ngulo
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