1.1 definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica

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Definicion de un vector en el plano y en el espacio y su interpretacion geometrica

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Introducion

El termino de vector es muy diverso y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una estructura algebraica denominada espacio vectorial. Este blog trata de mirar el mundo que nos rodea e inventar distintas formas para simular ese mundo con código, es en relación con la representación geométrica de los números llamados imaginario, como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente realizadas. En física, un vector es un concepto matemático que se utiliza para describir magnitudes tales como velocidades, aceleraciones o fuerzas.

Un vector libre, geométricamente puede ser caracterizado por un segmento orientado en el espacio, el cual contiene:

·         Un origen, a considerar cuando interese conocer el punto de aplicación del vector.

·         Una dirección o línea de acción, coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra recta paralela.

·         Un sentido, que viene determinado por la punta de echa localizada en el extremo del vector.

Definición de un vector en R2 , R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn . Las cantidades físicas que necesitan dirección y magnitud para su especificación, tales como fuerza y velocidad son ejemplos de vectores. Un vector se representa por un segmento de línea recta con dirección y longitud dadas. En la figura, P1 es el punto inicial y P2 el punto terminal del vector, y la cabeza de la flecha indica la dirección del vector.

Un par ordenado de números reales (a1, a2) se puede usar para determinar el vector representado por el segmento rectilíneo que une al origen con el punto (a1, a2) en un sistema de coordenadas rectangulares. El vector determinado por el par ordenado de números reales (a1, a2) tiene la propiedad de que si partimos del punto inicial, recorremos una distancia dirigida a1 paralela al eje x, y después recorremos una distancia dirigida a2 paralela al eje y, llegamos al punto terminal.

Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar líneas paralelas a los ejes de coordenadas por el punto inicial B y por el por el punto terminal C, podemos encontrar la pareja ordenada (a1, a2) que determina el vector; a1 = c1 - b1, a2 = c2 - b2.

Por tanto dado un punto P, hay una correspondencia biunívoca entre los vectores bidimensionales (R2) con P como punto inicial y pares ordenados de números reales, y en consecuencia llamaremos a una pareja de números reales.

VECTOR EN R2

Un vector a (de dos dimensiones) es un par ordenado de números reales (a1, a2), y la representación a = (a1, a2). La magnitud |a| de a está dada por

La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1, a2). Al referirnos a la siguiente figura vemos que

VECTORES EN R 3

Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera:

Geométricamente a un vector de R 3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido.

Suponga que se tienen los puntos. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2 tenemos una representación del vector

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.

Existen en el Álgebra vectorial básica las operaciones de suma y diferencia entre vectores así como la multiplicación de escalares por vectores, el producto escalar o producto punto y el producto vectorial se explicarán más adelante.

Si se tienen dos vectores #«a y #«b , con magnitud diferente de cero y en un plano, de- fingimos geométrica mente la suma del vector #«a con el vector #«b cuando colocamos en el final del vector #«a con el origen del vector #«b , la resultante es un nuevo vector que parte del origen del vector #«a y termina en el final del vector #«b , tal resultante la denotamos como #«a + #«b , este procedimiento se llama regla del triángulo, ahora si se forma un paralelogramo con los dos vectores y realizamos la operación suma tal este proceso se denomina la regla del paralelogramo, de esta figura se observa que #«a + #«b = #«b + #«a ; siendo esta propiedad denominada conmutativa de la suma de vectores.

fuente : calculovectorialitl.blogspot.com