¿qué diferencias y semejanzas encuentras en cada tipo de aplicación del cálculo vectorial?

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fuente : www.studocu.com

Cálculo vectorial

Cálculo vectorial

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El cálculo vectorial, análisis vectorial o cálculo multivariable es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.

Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el forma un subconjunto.

Índice

1 Historia

2 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales

2.1 Funciones de Rn en Rm. Campos escalares y vectoriales

2.2 Límites y continuidad

2.3 Derivadas direccionales

2.3.1 Derivada de un campo escalar respecto a un vector

2.3.2 Derivadas parciales

2.4 La diferencial

2.4.1 Definición de campo escalar diferenciable

2.4.2 Teorema de unicidad de la diferencial

2.4.3 Regla de la cadena

2.4.4 Diferencial de un campo vectorial

2.4.5 Diferenciabilidad implica continuidad

2.4.6 Regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales

2.5 Condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales mixtas

3 Aplicaciones del cálculo diferencial

3.1 Cálculo de máximos, mínimos y puntos de ensilladura para campos escalares

4 Véase también 5 Referencias 6 Enlaces externos

Historia[editar]

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el .

Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático inglés Oliver Heaviside1​(1850-1925).

Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales[editar]

Funciones de Rn en Rm. Campos escalares y vectoriales[editar]

Formularemos las definiciones para campos vectoriales. También serán válidas para campos escalares. Sea

{\displaystyle \mathbf {f} :V\longrightarrow W}

un campo vectorial que hace corresponder a todo punto definido biunívocamente por su vector posición, un vector

{\displaystyle \mathbf {f} {\big (}\mathbf {OP} {\big )}}

donde el punto O es nuestro origen de coordenadas.

{\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n},W\subseteq \mathbb {R} ^{m},}

con {\displaystyle n>1} y

{\displaystyle m\geqslant 1}

. Cuando {\displaystyle m=1}

tenemos un campo escalar. Para

{\displaystyle m>1}

tenemos un campo vectorial. Utilizaremos la norma euclídea para hallar la magnitud de los vectores.

Límites y continuidad[editar]

Si

{\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}

y

{\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{m}.}

Escribimos:

{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} }

, o bien,

{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rightarrow \mathbf {b} }

cuando

{\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }

para expresar lo siguiente:

{\displaystyle \lim _{{\big \|}\mathbf {x-a} {\big \|}\to 0}{\big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\big \|}=0}

donde

{\displaystyle {\big \|}\mathbf {x} {\big \|}}

es la norma euclídea de

{\displaystyle \mathbf {x} }

. Expresándolo en función de las componentes de

{\displaystyle \mathbf {x} ={\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )},\mathbf {a} ={\big (}a_{1},\ldots ,a_{n}{\big )},}

{\displaystyle \lim _{{\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}\to {\big (}a_{1},\ldots ,a_{n}{\big )}}\mathbf {f} {\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}=\mathbf {b} }

o, de forma equivalente,

{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} }

fuente : es.wikipedia.org

Funciones vectoriales

Diario de Cálculo Vectorial

Primer Parcial

Figuras cónicas Funciones polares

Rectas y planos en el espacio

Cilindros

Primer examen parcial

Segundo Parcial

Superficies cuadráticas

Funciones de varias variables

Límites de funciones de varias variables

Derivadas parciales Diferenciales

Cuarto Parcial

Integración múltiple

Coordenadas cilíndricas y esféricas

Quinto Parcial

Funciones vectoriales

Funciones vectoriales

En el cálculo existen diferentes tipos de funciones. Las más comunes son las funciones cartesianas, de la forma . Por otro lado hay funciones polares, en las que la variable dependiente es un radio y la independiente, un ángulo. Pero existe otra familia de funciones, llamadas funciones vectoriales.

Las funciones vectoriales son vectores en los que cada uno de sus componentes dependen de un parámetro como variable independiente. La forma de las funciones vectoriales es la siguiente:

Las funciones vectoriales describen una figura mediante vectores. Una curva en el espacio o en el plano está formada por una sucesión de puntos. Cada punto es el extremo de cada vector que proviene del origen. Hay un número infinito de vectores.

Al igual que cualquier función, las funciones vectoriales tienen su cálculo diferencial e integral.

El concepto de límite es aplicable a las funciones vectoriales. La idea es igual al límite en funciones vectoriales; cuando el parámetro  se aproxima a un valor , la función vectorial tiende a tomar un valor también. El cálculo de límites se denota de la siguiente forma:

Por ejemplo, el límite de la siguiente función vectorial cuando  tiende a 0:

El límite se expresa y se calcula:

La dificultad del límite dependerá de las funciones ,  y  que se encuentren en las componentes.

Derivar una función vectorial es simple. Es similar a derivar una función de una variable. La diferencia es que se deriva cada componente del vector de la función. Sin embargo, cada derivada se hace respecto al parámetro

Por ejemplo, derivar la siguiente función:

Para derivar la función, se deriva cada componente:

Una aplicación del cálculo vectorial diferencial es en la física, específicamente en la dinámica. Una función vectorial puede representar la posición de una partícula o un objeto. La derivada de una función vectorial representa la velocidad de la partícula. La segunda derivada de la función es la función aceleración. Todas estas tres funciones dependen del parámetro , que para este caso, es el tiempo. Como vectores, tienen magnitud, dirección y sentido. Para conocer su magnitud es necesario calcularla mediante la siguiente fórmula:

La magnitud de la velocidad se conoce como rapidez.

Por ejemplo, se tiene que una partícula se mueve en el plano y su trayectoria está descrita con la siguiente función vectorial:

Para encontrar la velocidad hay que derivar la función:

Si se pide la velocidad en el tiempo , basta con evaluar la función vectorial:

Se puede encontrar también la magnitud de la velocidad, que es la rapidez, utilizando la fórmula y evaluando en el tiempo :

Finalmente, el vector aceleración es la derivada del vector velocidad:

Las funciones vectoriales, por tener una parte diferencial, también poseen una parte integral. Toda función que se deriva, podría ser integrada. En este caso, la integral de una función vectorial es un vector cuya derivada es la función original. Las integrales de este tipo se escriben de la siguiente manera:

Por ejemplo, se pide integrar la siguiente función:

El procedimiento consiste en integrar las funciones de las componentes del vector, respecto al parámetro .

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